Page 10 - Matematyka. Zbiór zadań

Zadania powtórzeniowe

17. Okrąg o środku O i promieniu 3 jest styczny zewnętrznie do okręgu o środku S i pro-
mieniu 1. Prosta przechodząca przez środki tych okręgów przecina prostą styczną do obu
okręgów w punkcie P (rysunek poniżej). Oblicz miarę kąta BSP oraz pole zacieniowanego
obszaru.

A

B
O S P

18. Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie, jeżeli:
a) najdłuższy bok trójkąta ma długość 8 cm, a jeden z kątów ma miarę 120 ,
○
√
○
b) boki trójkąta mają długości 10 cm i 4 3 cm, a kąt między nimi ma miarę 30 .
√
19. Dany jest trójkąt ABC o bokach ∣AC∣= 6i ∣BC∣= 3 2. Na boku AC tego trójkąta obrano
punkt D,ana boku BC – punkt E tak, że ∣<)CDE∣= 30 i ∣<)DEC∣= 45 oraz promień
○
○
√
PLANIMETRIA 20. Uzasadnij, że jeżeli a, b i c są długościami boków trójkąta, r jest promieniem okręgu wpisa-
okręgu opisanego na trójkącie CDE jest równy 2 2. Wykaż, że odcinki DE i AB są równo-
ległe.

wzorami:
9. nego w ten trójkąt, a R – promieniem okręgu na nim opisanego, to pole trójkąta wyraża się
a + b + c abc
P = ⋅ r oraz P =
2 4R
21. Długość jednego z boków trójkąta jest równa 6 cm, a cosinus kąta leżącego przy tym boku
1
wynosi . Oblicz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt, jeżeli promień okręgu na nim
3
opisanego jest równy 9 cm.

22. W trójkącie ABC dane są ∣<)CAB∣= α, ∣<)ABC∣= 2α oraz ∣AB∣= 10. Zapisz długość boku BC
jako funkcję kąta α. Podaj dziedzinę tej funkcji.

23. Stosunek boków równoległoboku wynosi 4:5, a jego obwód jest równy 18 cm. Oblicz cosi-
nus kąta ostrego tego równoległoboku, jeżeli krótsza przekątna ma długość 6 cm.

24. W okrąg o środku O wpisano czworokąt ABCD taki, że ∣AB∣= 8i ∣BC∣= 4. Oblicz promień
tego okręgu, jeżeli kąt między promieniami AO i CO ma miarę 120 .
○
√
25. W trapezie prostokątnym jedno z ramion ma długość 2 6 i jest nachylone do podstawy
pod kątem 15 . W trapez ten wpisano okrąg. Oblicz promień okręgu i pole trapezu.
○

66

ZMr str. 66 11 marca 2019 godz. 8:34