Page 14 - Matematyka. Zbiór zadań

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 19. (4 pkt) 2015
Dany jest trójkąt ABC, w którym ∣BC∣= a. Z wierzchołka B poprowadzono środkową BD do
boku AC. Punkt S jest środkiem odcinka BD. Przez punkty A i S poprowadzono prostą, która
2
przecięła bok BC w punkcie P. Wykaż, że długość odcinka CP jest równa a.
3
Zadanie 20. (4 pkt) 2015
W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 i 20 wpisano okrąg. Oblicz długość
odcinka łączącego wierzchołek kąta prostego tego trójkąta z punktem wspólnym okręgu i prze-
ciwprostokątnej.

Zadanie 21. (3 pkt) 2015 D
B A
W trójkącie ABC kąt wewnętrzny przy wierz-
50 ○
○
chołku A ma miarę 50 , a kąt wewnętrzny przy
○
wierzchołku C ma miarę 60 . Okrąg o 1 prze-
chodzi przez punkt A i przecina boki AB i AC
trójkąta odpowiednio w punktach D i E. Okrąg
F
o 2 przechodzi przez punkt B, przecina okrąg o 1 G
w punkcie D oraz w punkcie F leżącym we- E
PLANIMETRIA cina bok BC trójkąta w punkcie G. Udowodnij, C ○
wnątrz trójkąta ABC. Ponadto okrąg o 2 prze-
60
że na czworokącie CEFG można opisać okrąg.

9. Zadanie 22. (3 pkt) 2016
Dany jest prostokąt ABCD. Okrąg wpisany w trójkąt BCD jest styczny do przekątnej BD
w punkcie N. Okrąg wpisany w trójkąt ABD jest styczny do boku AD w punkcie M, a środek S
tego okręgu leży na odcinku MN, jak na rysunku. Wykaż, że ∣MN∣=∣AD∣.
D C

N
M
S

A B

Zadanie 23. (3 pkt) 2017
W trójkącie ostrokątnym ABC bok AB ma długość c, długość boku BC jest równa a oraz
∣<)ABC∣= β. Dwusieczna kąta ABC przecina bok AC trójkąta w punkcie E. Wykaż, że długość
β
2ac ⋅ cos
odcinka BE jest równa 2 .
a + c

72

ZMr str. 72 11 marca 2019 godz. 8:34