Page 7 - Zbiór zadań Zrozumieć fizykę 2 ZR

Prawo powszechnego cienia 11

b) Siły grawitacji działają zawsze w kierunku ciała, od którego pochodzą. Ciało o masie m
musi znajdować się więc między Neptunem i Trytonem, ponieważ tylko tam siły grawita cyjne
pochodzące od tych ciał będą miały taki sam kierunek, ale przeciwne zwroty. Odległość
między ciałem o masie m a Neptunem oznaczamy jako x.
Zapisujemy wzory na siły grawitacji Neptuna (F N ) x 
i Trytona (F T ) działające na ciało o masie m: F N 
GM m GM m F T
F N = N , F T = T . r
2
x 2 ^h
rx–
Aby ciało mogło pozostać w równowadze, działające na nie siły muszą się równoważyć:
GM m GM m
.
FF & x 2 N ^h
T
==
NT
2
rx–
Po uproszczeniu otrzymujemy:
M N = M T .
2
x 2 ^h
rx–
Wiemy z treści zadania, że: k = M N . Przekształcamy powyższe równanie tak, aby otrzymać
M T
iloraz mas:
==
.
M N x 2 x 2
k
&
2
– h
M T ^ rx– h 2 ^ rx
Wiemy, że r > x, więc r x > 0, dlatego powyższe równanie możemy obustronnie spierwias­
tkować i wyznaczyć x. Otrzymujemy:
rk
x = .
1 + k
Po podstawieniu danych liczbowych: x ≈ 0,986r ≈ 349 800 km.
Odpowied : Odległość, w której nastąpi zrównoważenie sił, wynosi około 349 800 km.
Siły działające na ciało zrównoważą się w pobliżu Trytona.
Przykad 3
W pasie Kuipera znajduje się planeta karłowata Haumea, która jest mocno spłaszczona.
Jej okres obrotu względem najkrótszej osi wynosi T = 4 h. Promień równikowy planety to
R r = 980 km, a promień biegunowy R b = 498 km. Wartość przyspieszenia grawitacyjnego na
m
biegunach planety g b = 1,076 . Oblicz, przy założeniu, że pomijamy wpływ niesymetrycznie
s
2
sferycznej masy:
a) ile razy przyspieszenie grawitacyjne na biegu-
nie planety jest większe od przyspieszenia na jej
równiku,
b) ciężar ciała o masie m = 1 kg na równiku i na o
biegunie planety, uwzględniając ruch obrotowy obrotu
planety wokół najkrótszej osi (patrz rysunek),
c) o ile procent ciężar ciała na równiku jest mniej-
szy od ciężaru ciała na biegunie planety,
d) okres obrotu planety wokół najkrótszej osi,
przy którym ciało na równiku nic by nie ważyło.