Page 13 - Teraz matura matematyka - vademecum poziom podstawowy

Podobieństwo wielokątów

Wielokąty podobne to takie wielokąty, które mają odpowiednie kąty równe oraz ich odpowiednie
boki są proporcjonalne.
• Każde dwa wielokąty foremne otakiej samej liczbie boków są podobne.
• Dwa prostokąty są podobne, jeśli wobydwu stosunek długości do szerokości jest taki sam.
• Dwa prostokąty są podobne, jeśli wobydwu kąt ostry między przekątną adłuższym bokiem
ma tę samą miarę.

Skala podobieństwa

Stosunek długości odpowiadających sobie odcinków wwielokątach podobnych nazywamy skalą
podobieństwa (oznaczamy ją najczęściej literą k).
2
Stosunek pól gur podobnych wskali k jest równy k .

Przykład 5 Rozwiąż z. 26, s. 176.
Wtrójkącie ABC, wktórym CA = CB, poprowadzono
odcinek AD, zawarty wdwusiecznej kąta BAC. Trójkąty
ABC iBDA są podobne. Oblicz miary ich kątów.

Rozwiązanie 7.
Oznaczmy: BBAD = a. Wówczas BBAC = 2a oraz
BABD = 2a.
Zpodobieństwa obu trójkątów wynika, że także PLANIMETRIA
BBDA = 2a.
Dla trójkąta BDA mamy: a + 2a + 2a = 180°, skąd otrzymujemy a = 36°.
Zatem kąty trójkątów ABC iBDA mają miary: 36°, 72° i72°.

Przykład 6
Rozwiąż z. 27, s. 176.
Wtrójkącie ostrokątnym ABC poprowadzono wysokości
BK iCL. Uzasadnij, że:
a) trójkąty ABK iACL są podobne,
b) trójkąty ABC iAKL są podobne.
Rozwiązanie
a) BAKB = BALC = 90°
BBAK = BLAC (ten sam kąt)
Na mocy cechy kkk trójkąty ABK iACL są podobne.
b) Zpodobieństwa trójkątów ABK iACL mamy:
AL = AC AB = AC
AK AB , czyli AK AL .
Ponadto: BKAL = BBAC.
Zatem na mocy cechy bkb stwierdzamy, że trójkąty ABC iAKL są podobne.

11