Page 4 - Matematyka. Arkusze maturalne

Zadanie 2. – matura, maj 2014, zad. 16.
√
○
Wysokość trapezu równoramiennego o kącie ostrym 60 i ramieniu długości 2 3 jest równa
√ √
A. 3 B. 3 C. 2 3 D. 2
Szkicujemy trapez równoramienny w brudnopisie i prowadzimy jego wysokość z wierzchołka kąta rozwartego.
√ √ √
3
Wykorzystujemy wzór na wysokość trójkąta równobocznego o boku 2 3: h = 2 3 ⋅ = 3. Prawdziwa jest
2
więc odpowiedź B.
Rozwiązanie zadania zamkniętego może też polegać na obliczeniu wartości wyrażeń podanych
w odpowiedziach.

Zadanie 3. – informator, zad. 2., str. 41
Liczba log24 jest równa
A. 2log2 + log20 B. log6 + 2log2 C. 2log6 − log12 D. log30 − log6

Wykorzystujemy własności logarytmów i obliczamy:
A. 2log2 + log20 = log4 + log20 = log80
B. log6 + 2log2 = log6 + log4 = log24
Prawdziwa jest więc odpowiedź B.

Uważne przeczytanie zadania zamkniętego czasami pozwala uniknąć niepotrzebnych rachunków.
Zadanie 4. – matura, maj 2014, zad. 5
2
Wspólnym pierwiastkiem równań (x − 1)(x − 10)(x − 5) = 0 oraz 2x−10 = 0 jest liczba
x−1
A. −1 B. 1 C. 5 D. 10
Rozwiązujemy tylko drugie z równań i wyznaczamy jego jedyny pierwiastek: 5. Prawdziwa jest więc odpowiedź C.

Alternatywną metodą jest sprawdzenie, czy podana liczba jest rozwiązaniem równania.

Czasami sformułowanie zadania zamkniętego jest na tyle ogólne, że jedyną metodą rozwiązania jest sprawdzenie
warunków określonych dla poszczególnych odpowiedzi.

Zadanie 5. – matura, maj 2011, zad. 12.
Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny (a n ) o wyrazach dodatnich. Wtedy
A. a 4 + a 7 = a 10 B. a 4 + a 6 = a 3 + a 8 C. a 2 + a 9 = a 3 + a 8 D. a 5 + a 7 = 2a 8
Jeżeli skorzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego, to otrzymamy:
A. a 4 + a 7 = a 1 + 3r + a 1 + 6r = 2a 1 + 9r oraz a 10 = a 1 + 9r. Zatem z równości a 4 + a 7 = a 10 wynika, że a 1 = 0,
co jest sprzeczne z warunkiem zadania mówiącym, że wyrazy ciągu są dodatnie.
B. a 4 + a 6 = a 1 + 3r + a 1 + 5r = 2a 1 + 8r oraz a 3 + a 8 = a 1 + 2r + a 1 + 7r = 2a 1 + 9r. Zatem z równości
a 4 + a 6 = a 3 + a 8 wynika, że r = 0, co jest sprzeczne z warunkiem zadania mówiącym, że ciąg jest rosnący.
C. a 2 + a 9 = a 1 + r + a 1 + 8r = 2a 1 + 9r oraz a 3 + a 8 = a 1 + 2r + a 1 + 7r = 2a 1 + 9r. Zatem równość jest spełnio-
na. Poprawna jest więc odpowiedź C.

6